名古屋大学大学院理学研究科物理学系・院試解答
2018年度電磁気学
問題はこちら
入試データ

解答の訂正等はこちらへお願いします。アドレス：yasketballclub@gmail.com
メールはこちらへ

※スマホ等で見る場合、式が途切れちゃうことがあると思うのでその時は画面を横にして見てください

　

スポンサーリンク

電磁気学

問１
\( S_1\)と同心の半径\( r_1 < a\)の閉空間にガウスの法則を適用すると \begin{eqnarray} \begin{split} E_1\cdot 4\pi r_1^2&=&\frac{\rho}{\epsilon_0}\cdot \frac43\pi r_1^3\\ E_1&=&\frac{\rho}{3\epsilon_0}r_1 \end{split} \end{eqnarray} \( S_2\)も同様にして \begin{eqnarray} \begin{split} E_2=-\frac{\rho}{3\epsilon_0}r_2 \end{split} \end{eqnarray} となる。これをベクトル表記して \begin{eqnarray} \begin{split} \bf{E}_1&=&\frac{\rho}{3\epsilon_0}\bf{r}_1\\ \bf{E}_2&=&\frac{\rho}{3\epsilon_0}\bf{r}_2 \end{split} \end{eqnarray} となる。

問２
問１の結果より
\begin{eqnarray}
\begin{split}
\bf{E}_p&=&\bf{E}_1+\bf{E}_2
&=&\frac{\rho}{3\epsilon_0}(\bf{r}_1-\bf{r}_2)
&=&-\frac{\rho}{3\epsilon_0}\bf{d}
\end{split}
\end{eqnarray}

問３
\begin{eqnarray}
{\bf{E}}_{in}={\bf{E}}_{0}-\frac{\rho}{3\epsilon_0}{\bf{d}}
\end{eqnarray}
一方、 \( \rho \bf{d}=\epsilon_0(\epsilon_s-1)\bf{E}_{in} \)にこれを代入して
\begin{eqnarray}
\begin{split}
\rho {{\bf{d}}}&=&\epsilon_0(\epsilon_s-1)\left( {\bf{E}}_0 – \frac{\rho}{3\epsilon_0}{\bf{d}}\right)\\
\bf{E}_0&=&\frac{2+\epsilon_0}{3\epsilon_0(\epsilon_s-1)}\rho \bf{d}
\end{split}
\end{eqnarray}
となる。

問４
\( S_1\)と同心の半径 \( r’_1 > a\)の球の閉空間にガウスの法則を適用すると
\begin{eqnarray}
\begin{split}
E_1\cdot 4\pi r_1’^2&=&\frac{\rho}{\epsilon_0}\cdot \frac43\pi a^3\\
E_1&=&\frac{\rho}{3\epsilon_0}\frac{a^3}{r_1’^2}
\end{split}
\end{eqnarray}
\( S_2\)の場合も同様に
\begin{eqnarray}
E_2&=&-\frac{\rho}{3\epsilon_0}\frac{a^3}{r_2’^2}
\end{eqnarray}
ベクトルで表記すると
\begin{eqnarray}
\begin{split}
\bf{E}_1&=&\frac{\rho a^3}{3\epsilon_0}\frac{\bf{r}’_1}{r_1’^3}\\
\bf{E}_2&=&\frac{\rho a^3}{3\epsilon_0}\frac{\bf{r}’_2}{r_2’^3}
\end{split}
\end{eqnarray}
となる。よって \( \bf{E}_{out}\)は
\begin{eqnarray}
\begin{split}
\bf{E}_{out}&=&\bf{E}_1+\bf{E}_2\\
&=&\frac{\rho a^3}{3\epsilon_0}\left(\frac{\bf{r}’_1}{r_1’^3}-\frac{\bf{r}’_2}{r_2’^3}\right)
\end{split}
\end{eqnarray}
と求まる。

問５
\( {\bf{r}}’_1,{\bf{r}}’_2\)を \( {\bf{r}}\)を用いて表すと
\begin{eqnarray}
\begin{split}
{\bf{r}}’_1={\bf{r}}’+\frac{{\bf{d}}}{2}\\
{\bf{r}}’_2={\bf{r}}’-\frac{{\bf{d}}}{2}
\end{split}
\end{eqnarray}
となるため、 \( {\bf{r}}=(x,y,z)\)として
\begin{eqnarray}
\begin{split}
\frac{\bf{r}’_1}{r_1’^3}-\frac{\bf{r}’_2}{r_2’^3}&=&
\frac{{\bf{r}}-{\bf{d}}/2}{\left|{\bf{r}}-{\bf{d}}/2\right|^3}-\frac{{\bf{r}}+{\bf{d}}/2}{\left|{\bf{r}}+{\bf{d}}/2\right|^3}\\
&=&\frac{(x,y,z-\delta/2)}{(x^2+y^2+(z-\delta/2)^2)^{\frac32}}-\frac{(x,y,z+\delta/2)}{(x^2+y^2+(z+\delta/2)^2)}^{\frac32}\\
&\simeq &\frac{(x,y,z-\delta/2)}{(r^2-\delta z)^{\frac32}}-\frac{(x,y,z+\delta/2)}{(r^2+\delta z)^{\frac32}}\\
&=& \frac{(x,y,z-\delta/2)}{r^3}\left(1+\frac32 \frac{\delta z}{r^2}\right)- \frac{(x,y,z+\delta/2)}{r^3}\left(1-\frac32 \frac{\delta z}{r^2}\right)\\
&=&(\frac{3zx}{r^5}\delta,\frac{3yz}{r^5}\delta,\frac{z^2}{r^5}\delta-\frac{\delta}{r^3})\\
&=&\frac{\delta}{r^5}(3zx,3yz,3z^2-r^2)
\end{split}
\end{eqnarray}
と近似計算できるので
\begin{eqnarray}
{\bf{E}}_{out}=\frac{\rho \delta a^3}{3\epsilon_0r^5}(3zx,3yz,3z^2-r^2)
\end{eqnarray}
と求まる。

　

スポンサーリンク

問６
問３の結果より
\begin{eqnarray}
E_0=\frac13 \frac{\epsilon_s +2}{\epsilon_0(\epsilon_s-1)}\rho \delta
\end{eqnarray}
これを変形していくと
\begin{eqnarray}
\begin{split}
E_0&=&\frac{\rho \delta}{3\epsilon_0} \frac{\epsilon_s +2}{(\epsilon_s-1)}\\
\Leftrightarrow E_0-\frac{\rho \delta}{3\epsilon_0}&=&\frac{\rho \delta}{3\epsilon_0}\frac{3}{(\epsilon_s-1)}\\
&=&\frac{\rho \delta}{\epsilon_0}\frac{1}{(\epsilon_s-1)}\\
&=&\frac{3E_0}{\epsilon_s + 2}
\end{split}
\end{eqnarray}
が得られる。 \( \bf{E}_{in}, \bf{E}_{out}\)は
\begin{eqnarray}
\begin{split}
\bf{E}_{in}&=&\left(0,0,\frac{3E_0}{\epsilon_s+2}\right)\\
\bf{E}_{out}&=&\frac{\epsilon_s -1}{(\epsilon_s+2)}\frac{a^3}{r^5}E_0(3zx,3yz,3z^2-r^2)
\end{split}
\end{eqnarray}
と表される。(1)式において \( x^2+y^2+z^2,z~rcos\theta\)を用いて \( x,y,z\)を用いて表すと、
\begin{eqnarray}
\begin{split}
\bf{E}_{in}&=&-(0,0,A)\\
\bf{E}_{out}&=&-( -B\frac{3zx}{r^5}, -B\frac{3yz}{r^5} , -E_0+B(\frac{1}{r^3}-\frac{3z^2}{r^5}) )
\end{split}
\end{eqnarray}
\( E_{out}\)の \( z\)成分の \( E_0\)を外の \( \bf{E}_0\)によるものであるとして、A,Bを比較すると
\begin{eqnarray}
\begin{split}
A&=&-\frac{3E_0}{\epsilon_s+2}\\
B&=&\frac{\epsilon_s-1}{\epsilon_s+2}E_oa^3
\end{split}
\end{eqnarray}
となる。

問７
(1)式に \( r=a,A,B\)を代入して \( V_{in}/V_{out}\)を計算すると
\begin{eqnarray}
\begin{split}
\frac{V_{in}}{V_{out}}&=&\frac{-\frac{3E_0}{\epsilon_s + 2}acos\theta}{(-E_0a+\frac{1}{a^2}\frac{\epsilon_s}{\epsilon_s+2}E_0a^3)cos\theta}\\
&=&\frac{-\frac{3E_0}{\epsilon_s + 2}}{(-E_0a+\frac{\epsilon_s}{\epsilon_s+2}E_0}\\
&=&\frac{-3}{-(\epsilon_s + 2)+(\epsilon_s -1)}\\
&=&1
\end{split}
\end{eqnarray}
となる。次に \( E^r_{in},E^r_{out}\)を求めると
\begin{eqnarray}
\begin{split}
E^r_{in}&=&-\frac{\partial V_{in}}{\partial r}{\Huge|}_{r=a}\\
&=&-Acos\theta\\
&=&\frac{3}{\epsilon_s+2}E_0cos\theta\\
E^r_{out}&=&-\frac{\partial V_{out}}{\partial}{\Huge|}_{r=a}\\
&=&E_0cos\theta +B\frac{2cos\theta}{a^3}\\
&=&\left( E_0 +\frac{2(\epsilon_s-1)}{\epsilon_s +2}\right)cos\theta\\
&=&\frac{3\epsilon_s}{\epsilon_s+2}E_0cos\theta
\end{split}
\end{eqnarray}
よって
\begin{eqnarray}
\begin{split}
\frac{E^r_{in}}{E^r_{out}}&=&\frac{\frac{3}{\epsilon_s+2}E_0cos\theta}{\frac{3\epsilon_s}{\epsilon_s+2}E_0cos\theta}\\
&=&\frac{1}{\epsilon_s}
\end{split}
\end{eqnarray}
と求まる。

問８
\( r=a\)での境界条件は
\begin{eqnarray}
\begin{split}
V_{in}(r=a)&=&V_{out}(r=a)\\
\epsilon_s \frac{\partial V_{in}}{\partial r}{\Huge|}_{r=a}=\frac{\partial V_{out}}{\partial r}{\Huge|}_{r=a}
\end{split}
\end{eqnarray}
となる。これに(1)式を代入して計算すると
\begin{eqnarray}
\begin{split}
A&=&-\frac{2\epsilon_s+1}{3\epsilon_s}E_0\\
B&=&\frac{\epsilon_s-1}{3\epsilon_s}E_0a^3
\end{split}
\end{eqnarray}
よって \( r < 0\)においての \( V_{in}\)を \( (x,y,z)\)表記すると \begin{eqnarray} \begin{split} V_{in}&=&-\frac{2\epsilon_s+1}{3\epsilon_s}E_0rcos\theta\\ &=&-\frac{2\epsilon_s+1}{3\epsilon_s}E_0z \end{split} \end{eqnarray} なので \begin{eqnarray} \begin{split} {\bf{E}}_{in}&=&\frac{\partial V_{in}}{\partial {\bf{r}}}\\ &=&\left( 0,0, -\frac{2\epsilon_s+1}{3\epsilon_s}E_0\right) \end{split} \end{eqnarray} と求まる。

　

スポンサーリンク