名古屋大学大学院理学研究科物理学系・院試解答
2017年度解析力学
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量子力学

問１
\begin{eqnarray}
V(x)=De^{-kx}(e^{-kx}-2)
\end{eqnarray}
であるので
\( x\rightarrow -\infty\)で\( V(x)\rightarrow \infty\)
\( x= 0\)で\( V(x)= -D\)
\( x\rightarrow \infty\)で\( V(x)\rightarrow 0\)
となれば良い。

問２
\begin{eqnarray}
\begin{split}
e^{-2kx}&=&1-2kx+\frac{1}{2!}(-2kx)^2+\frac{1}{3!}(-2kx)^3+\frac{1}{4!}(-2kx)^4+\cdots\\
e^{-kx}&=&1-kx+\frac{1}{2!}(-kx)^2+\frac{1}{3!}(-kx)^3+\frac{1}{4!}(-kx)^4+\cdots\\
e^{-2kx}-2e^{-kx}&=&-1+k^2x^2+(-k^3x^3)+\frac{7}{12}k^4x^4+\cdots
\end{split}
\end{eqnarray}
よって
\begin{eqnarray}
V(x)=-D+Dk^2x^2+D(-k^3x^3)+\frac{7}{12}Dk^4x^4+\cdots
\end{eqnarray}
と表せるから
\begin{eqnarray}
V_3=-1,V_4=\frac{7}{12}
\end{eqnarray}
となる。

問３
(5)をx,pについて解くと
\begin{eqnarray}
\begin{split}
x&=&\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}(a+a^\dagger)\\
p&=&i\sqrt{\frac{m\omega \hbar}{2}}(a-a^\dagger)
\end{split}
\end{eqnarray}
となり、(4)へ代入すると
\begin{eqnarray}
\begin{split}
H_0&=&\frac{1}{2m}\left\{ i\sqrt{\frac{m\omega \hbar}{2}}(a-a^\dagger) \right\}^2-D+\frac12 m\omega^2\left\{ \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}(a+a^\dagger) \right\}^2\\
&=&\frac{\hbar \omega}{4}(-{a^\dagger}^2 +a^\dagger a + aa^\dagger -a^2) + \frac{\hbar \omega}{4}(a^2 +aa^\dagger +a^\dagger a +{a^\dagger}^2)-D\\
&=&\frac{\hbar \omega}{2}(a^\dagger a+aa^\dagger)-D
\end{split}
\end{eqnarray}
となる。

問４
\( |n\rangle\)に\( H_0\)を作用させると
\begin{eqnarray}
\begin{split}
H_0|n\rangle &=& \left\{ \frac{\hbar \omega}{2}(a^\dagger a+aa^\dagger)-D\right\}|n\rangle\\
&=&\left\{ \frac{\hbar \omega}{2}(2n+1)-D\right\}|n\rangle\\
&=&\left\{ \left(n+\frac12 \right) \hbar \omega-D\right\}|n\rangle\\
\end{split}
\end{eqnarray}
となるため、\( H_0\)は\( |n\rangle\)の固有状態であり、
\begin{eqnarray}
E_n^{(0)}=\left(n+\frac12 \right)\hbar \omega-D
\end{eqnarray}
となる。

問５
(3)にxの\( a,a^\dagger\)に関する表式を代入すると、
\begin{eqnarray}
\begin{split}
V_3(x)&=&v_3Dk^3x^3\\
&=&v_3Dk^3\left(\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}(a+a^\dagger)\right)^3\\
&=&v_3D\left( \frac{m\omega^2}{2D} \right)^\frac{3}{2}\left( \frac{\hbar}{2m\omega} \right)^\frac{3}{2}(a+a^\dagger)^3\\
&=&v_3D^{-\frac12}\left( \frac14\hbar\omega \right)^\frac{3}{2}(a+a^\dagger)^3\\
&=&v_3\left( \frac{\hbar\omega}{\lambda^2} \right)^{-\frac{1}{2}}\left( \frac14\hbar\omega \right)^{\frac{3}{2}}(a+a^\dagger)^3\\
&=&\frac18 v_3\lambda \hbar \omega(a+a^\dagger)^3
\end{split}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\begin{split}
V_4(x)&=&v_4Dk^4x^4\\
&=&v_4Dk^4\left(\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}(a+a^\dagger)\right)^4\\
&=&v_4Dk^4\left( \frac{\hbar}{2m\omega} \right)^{2}(a+a^\dagger)^4\\
&=&v_4D\left( \frac{m\omega^2}{2D} \right)^{2}\left( \frac{\hbar}{2m\omega} \right)^{2}(a+a^\dagger)^4\\
&=&v_4D^{-1}\left( \frac14\hbar\omega \right)^\frac{3}{2}(a+a^\dagger)^4\\
&=&\frac{1}{16} v_4\lambda^2 \hbar \omega(a+a^\dagger)^4
\end{split}
\end{eqnarray}

　

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問６
\begin{eqnarray}
\begin{split}
\langle n |V_3(x)|n\rangle &=& \langle n|\frac18 v_3\lambda \hbar \omega(a+a^\dagger)^3|n\rangle\\
&=&\frac18 v_3\lambda \hbar \omega\langle n |(a+a^\dagger)^3|n\rangle
\end{split}
\end{eqnarray}
ここで\( (a+a^\dagger)^3\)はケットベクトルを\(|n\pm l\rangle \,(l=1,2,3)\)に変化させ、\( \langle n |n\pm l\rangle=0\)となるため、\( V_3(x)\)についての１次摂動エネルギーは0となる。

問７
\begin{eqnarray}
\begin{split}
\langle n |V_4(x)|n\rangle &=& \langle n|\frac{1}{16} v_4\lambda \hbar \omega(a+a^\dagger)^4|n\rangle\\
&=&\frac{1}{16} v_4\lambda \hbar \omega\langle n |(a+a^\dagger)^4|n\rangle\\
&=&\frac{1}{16} v_4\lambda \hbar \omega(6n^2+6n+3)
\end{split}
\end{eqnarray}
と計算できる。

問８
\begin{eqnarray}
\begin{split}
\Delta E_n^{(2)}&=&\sum_{l(\neq n)}\frac{|\langle l|H’|n\rangle|^2}{E^{(0)}-E^{0}_l}\\
&=&\left( \frac18 v_3\lambda \hbar \omega \right)^2 \sum_{l(\neq n)}\frac{|\langle l|(a+a^\dagger)^3|n\rangle|^2}{E^{(0)}-E^{0}_l}
\end{split}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\begin{split}
&=&\left\{ \frac{|\langle n-3|(a+a^\dagger)^3|n\rangle|^2}{E^{(0)}-E^{0}_{n-3}}
+\frac{|\langle n+3|(a+a^\dagger)^3|n\rangle|^2}{E^{(0)}-E^{0}_{n+3}}\\
+\frac{|\langle n-1|(a+a^\dagger)^3|n\rangle|^2}{E^{(0)}-E^{0}_{n-1}}
\frac{|\langle n+1|(a+a^\dagger)^3|n\rangle|^2}{E^{(0)}-E^{0}_{n+1}} \right\} \\
&\,\,&×\left( \frac18 v_3\lambda \hbar \omega \right)^2
\end{split}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\begin{split}
&=&\left\{ \frac{n(n-1)(n-2)}{3\hbar \omega}
– \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3\hbar \omega}
+ \frac{9n^3}{3\hbar \omega}
– \frac{9(n+1)^3}{3\hbar \omega}
\right\}\left( \frac18 v_3\lambda \hbar \omega \right)^2\\
&=&-\frac{v_3^2\lambda ^3}{64}\hbar \omega(30n^2+30n+11)
\end{split}
\end{eqnarray}
と計算できる。

問９
\( x < 0\)における\( V(x)\)の傾斜よりも、\( x > 0\)における\( V(x)\)の傾斜の方が緩やかなのでbは正となる。

　

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