名古屋大学大学院理学研究科物理学系・院試解答
2016年度解析力学
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解析力学

(１)
質点 \( i\)の運動エネルギー\( T_i\)は
\begin{eqnarray}
T_i=\frac12 m\dot{x}_i^2
\end{eqnarray}
と書ける。

(２)
３つの質点からなる系のラグランジアン \( L\)は
\begin{eqnarray}
L=\frac12 m(\dot{x}_1^2+\dot{x}_2^2+\dot{x}_3^2)-\frac12 Kx_1^2-\frac12 C(x_2-x_1)^2 -\frac12 C(x_3-x_2)^2 -\frac12 Kx_3^2
\end{eqnarray}
となる。

(３)
質点 \( i\) \( (i=1,2,3)\)における運動方程式は
\begin{eqnarray}
\begin{split}
m\ddot{x}_1&=&-Kx_1+C(x_2-x_1)\\
m\ddot{x}_2&=&-C(x_2-x_1)+C(x_3-x_2)\\
m\ddot{x}_3&=&-C(x_3-x_2)-Kx_3\\
\end{split}
\end{eqnarray}
となる。

(４)
(３)の運動方程式を行列で書き直すと
\begin{eqnarray}
\begin{split}
m\frac{d^2}{dt^2} \left(
\begin{array}{ccc}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{array}
\right)
= \left(
\begin{array}{ccc}
-K-C & C & 0 \\
C & -2C & C \\
0 & C & -C-K
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{array}
\right)
\end{split}
\end{eqnarray}
となる。よって行列 \( \hat{A}\)は
\begin{eqnarray}
\begin{split}
\hat{A}= \left(
\begin{array}{ccc}
-K-C & C & 0 \\
C & -2C & C \\
0 & C & -C-K
\end{array}
\right)
\end{split}
\end{eqnarray}
と書ける。 \( \hat{A}\)の固有値を \( \lambda_i\)とすると、 \( |\hat{A}-\lambda_i E|=0\)が成立するので、
\begin{eqnarray}
\begin{split}
\left|
\begin{array}{ccc}
-K-C-\lambda_i & C & 0 \\
C & -2C-\lambda_i & C \\
0 & C & -C-K-\lambda_i
\end{array}
\right|=0
\end{split}
\end{eqnarray}
となる。

　

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(５)
行列 \( \hat{A}\)、固有ベクトル \( \vec{a}_i\)、固有値 \( \lambda_i\)には次のような関係がある。
\begin{eqnarray}
\hat{A}(\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3)=(\lambda_1\vec{a}_1,\lambda_1\vec{a}_2,\lambda_3\vec{a}_3)
\end{eqnarray}
これと \( \xi_i=\vec{a}_i\cdot \vec{x}_i\)から
\begin{eqnarray}
\begin{split}
m\frac{d^2}{dt^2} \left(
\begin{array}{ccc}
\xi_1 \\
\xi_2 \\
\xi_3
\end{array}
\right)
= \left(
\begin{array}{ccc}
\lambda_1 & 0 & 0 \\
0 & \lambda_2 & 0 \\
0 & 0 & \lambda_3
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
\xi_1 \\
\xi_2 \\
\xi_3
\end{array}
\right)
\end{split}
\end{eqnarray}
と書ける。 \( \omega_i=\sqrt{-\lambda_i/m}\)と書けば
\begin{eqnarray}
\begin{split}
\frac{d^2}{dt^2} \left(
\begin{array}{ccc}
\xi_1 \\
\xi_2 \\
\xi_3
\end{array}
\right)
= \left(
\begin{array}{ccc}
-\omega_1 & 0 & 0 \\
0 & -\omega_2 & 0 \\
0 & 0 & -\omega_3
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
\xi_1 \\
\xi_2 \\
\xi_3
\end{array}
\right)
\end{split}
\end{eqnarray}
となり、３つの独立な振動に分解することができるため有用である。

(６)
\( K=C\)の時、(４)より
\begin{eqnarray}
\begin{split}
\left|
\begin{array}{ccc}
-2C-\lambda & C & 0 \\
C & -2C-\lambda & C \\
0 & C & -2C-\lambda
\end{array}
\right|=0
\end{split}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\begin{split}
\Rightarrow (2C+\lambda)(2C^2-(2C+\lambda)^2)&=&0\\
\lambda&=&-2C,-2C\pm \sqrt{2}C
\end{split}
\end{eqnarray}
と固有値が求まる。対応する固有ベクトルは \( \lambda_1=-2C\)の時
\begin{eqnarray}
\begin{split}
\left(
\begin{array}{ccc}
0 & C & 0 \\
C & 0 & C \\
0 & C & 0
\end{array}
\right)
\end{split}
\end{eqnarray}
より
\begin{eqnarray}
\begin{split}
\vec{a}_1=\sqrt{2} \left(
\begin{array}{ccc}
1 \\
0 \\
-1
\end{array}
\right)
\end{split}
\end{eqnarray}
\( \lambda_2,3=-2C\pm \sqrt{2}C\)の時
\begin{eqnarray}
\begin{split}
\left(
\begin{array}{ccc}
\mp\sqrt{2}C & C & 0 \\
C & \mp\sqrt{2}C & C \\
0 & C & \mp\sqrt{2}C
\end{array}
\right)
\end{split}
\end{eqnarray}
であるので
\begin{eqnarray}
\begin{split}
\vec{a}_2=\frac12 \left(
\begin{array}{ccc}
1 \\
\sqrt{2} \\
1
\end{array}
\right)
\end{split}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\begin{split}
\vec{a}_3=\frac12 \left(
\begin{array}{ccc}
-1 \\
\sqrt{2} \\
-1
\end{array}
\right)
\end{split}
\end{eqnarray}
となる。まとめると
\begin{eqnarray}
\begin{split}
\lambda_1=-2C&,\ &\vec{a}_1=\sqrt{2} \left(
\begin{array}{ccc}
1 \\
0 \\
-1
\end{array}
\right)\\
\lambda_2=(-2+\sqrt{2})C&,\,&\vec{a}_2=\frac{1}{2} \left(
\begin{array}{ccc}
1 \\
\sqrt{2} \\
1
\end{array}
\right)\\
\lambda_3=(-2-\sqrt{2})C&,\,&\vec{a}_3=\frac{1}{2} \left(
\begin{array}{ccc}
-1 \\
\sqrt{2} \\
-1
\end{array}
\right)\\
\end{split}
\end{eqnarray}

(７)
\( K=0\)のとき固有値方程式は
\begin{eqnarray}
\begin{split}
\left|
\begin{array}{ccc}
C-\lambda_i & C & 0 \\
C & -2C-\lambda_i & C \\
0 & C & -C\lambda_i
\end{array}
\right|=0
\end{split}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\lambda&=&0,-C,-3C
\end{eqnarray}
３つの質点\( 1,2,3\)の位置をそれぞれ\( x_1,x_2,x_3\)とすると

\( \lambda=0\)のとき
固有ベクトルは
\begin{eqnarray}
\begin{split}
\vec{a}_1= \left(
\begin{array}{ccc}
\frac{1}{\sqrt{3}} \\
\frac{1}{\sqrt{3}} \\
\frac{1}{\sqrt{3}}
\end{array}
\right)
\end{split}
\end{eqnarray}
となり\( x_1+x_2+x_3\)の単振動となる。ただし、固有値が\( 0\)であるので並進運動を表す。

\( \lambda=-C\)のとき
固有ベクトルは
\begin{eqnarray}
\begin{split}
\vec{a}_2= \left(
\begin{array}{ccc}
\frac{1}{\sqrt{2}} \\
0 \\
-\frac{1}{\sqrt{2}}
\end{array}
\right)
\end{split}
\end{eqnarray}
となり、\( x_1-x_3\)の単振動となる。つまり１と３の単振動を表す。

\( \lambda=-3C\)のとき
固有ベクトルは
\begin{eqnarray}
\begin{split}
\vec{a}_3= \left(
\begin{array}{ccc}
\frac{1}{\sqrt{6}} \\
-\frac{2}{\sqrt{6}} \\
\frac{1}{\sqrt{6}}
\end{array}
\right)
\end{split}
\end{eqnarray}
となり、\( x_1-2x_2+z\)の単振動となる。ここで\( x_1-2x_2+x_3=(x_1+x_2+x_3)-3x_2\)であり\(x_1+x_2+x_3 \)は重心の単振動であるので1と3を固定しての2の単振動を表す。

　

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