名古屋大学大学院理学研究科物理学系・院試解答
2016年度統計力学
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統計力学

問１
この系のハミルトニアンは
\begin{eqnarray}
H=\sum_{I=1}^{N}\frac{P^2_i}{2m}-\sum_{I=1}^{N}V(x_i-x_{i-1})-f\cdot x_N
\end{eqnarray}
である。

問２
全系の分配関数を計算すると
\begin{eqnarray}
\begin{split}
Z&=&\frac{1}{h^N}\int\cdots \int e^{-\beta H}dx_1\cdots dx_N dp_1 dp_N\\
&=&\frac{1}{h^N}\left(\int^{\infty}_{-\infty}e^{-\frac{P^2}{2mk_BT}}dP\right)^N\int^{l+L}_{l}\cdots\int^{l+L}_{l}exp(-\beta fx_{N})dx_1\cdots dx_N
\end{split}
\end{eqnarray}
\( x_i-x_{I-1}=\omega_i\)とおくと
\begin{eqnarray}
\begin{split}
Z&=&\left( \frac{2\pi mk_BT}{h^2} \right)^{\frac{N}{2}}\left( \int^{\infty}_{-\infty}e^{-\beta f\omega}d\omega \right)^N\\
&=&\left( \frac{m}{2\pi h^2} \right)^{\frac{N}{2}}(k_BT)^{\frac{N}{2}}\frac{(k_BT)^{N}}{f^N}e^{N\beta fl}\left( e^{\beta fL}-1 \right)^N\\
&=&\left( \frac{m}{2\pi h^2} \right)^{\frac{N}{2}}\frac{(k_BT)^{\frac{3}{2}N}}{f^N}e^{\frac{Nfl}{k_BT}}\left( e^{\frac{fL}{k_BT}}-1 \right)^N
\end{split}
\end{eqnarray}
と計算できる。

問３
定義に当てはめ計算すると
\begin{eqnarray}
\begin{split}
U&=&-\frac{\partial}{\partial \beta}lnZ\\
&=&-\frac{\partial}{\partial \beta}ln\beta^{\frac{3}{2}N}e^{\beta Nfl}\left(e^{\beta fL}-1\right)^N\\
&=&\frac{3}{2}\frac{\beta}{N}-Nfl-N\frac{fLe^{\beta fL}}{e^{\beta fL}-1}\\
&=&N\left[\frac{3}{2}k_BT-fl-\frac{fL}{1-e^{-\frac{fL}{k_BT}}}\right]
\end{split}
\end{eqnarray}
と求まる。

　

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問４
\begin{eqnarray}
\begin{split}
C&=&\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_f\\
&=&N\left[ \frac{3}{2}k_B-\frac{k_B\left( \frac{fL}{k_BT} \right)^2e^{-\frac{fL}{k_BT}}}{\left(1-e^{-\frac{fL}{k_BT}}\right)^2} \right]\\
&=&Nk_B\left[\frac{3}{2}-\left( \frac{fL}{k_BT} \right)^2\frac{e^{-\frac{fL}{k_BT}}}{\left(1-e^{-\frac{fL}{k_BT}}\right)^2} \right]
\end{split}
\end{eqnarray}

問５
定義に当てはめ計算すると
\begin{eqnarray}
\begin{split}
\langle x_N \rangle&=&\frac{\int\cdots \int x_Ne^{-\beta H}dx_1\cdots dx_Ndp_1\cdots dp_N}{\int\cdots \int e^{-\beta H}dx_1\cdots dx_Ndp_1\cdots dp_N}\\
&=&\frac{1}{\beta}\frac{\partial}{\partial f}lnZ\\
&=&\frac{1}{\beta}\frac{\partial}{\partial f}ln\frac{e^{\beta Nfl}}{{f^N}}\left( e^{\beta fL}-1 \right)^N\\
&=&\frac{1}{\beta}\left\{\beta Nl-\frac{N}{f}+N\frac{\beta Le^{\beta fL}}{e^{\beta fL}-1}\right\}\\
&=&-\frac{N}{\beta f}+Nl+\frac{NL}{1-e^{-\beta fL}}\\
&=&-\frac{N}{f}k_BT+Nl+\frac{NL}{1-e^{-\frac{fL}{k_BT}}}\\
\end{split}
\end{eqnarray}
となる。

問６
\begin{eqnarray}
\begin{split}
\frac{1}{1-e^{-x}}&\simeq&\left\{ 1-\left(1-x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6}\right)\right\}\\
&=&\frac{1}{x}\left\{ 1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{6}\right\}^{-1}\\
&\simeq&\frac{1}{x}\left\{ 1- \left(\frac{x}{2}-\frac{x^2}{6}\right)+\left(\frac{x}{2}-\frac{x^2}{6}\right)^2\right\}\\
&\simeq&\frac{1}{x}\left\{1- \frac{x}{2}+ \frac{5x^2}{12} \right\}\\
&=&\frac{1}{x} -\frac12+\frac{5x}{12}
\end{split}
\end{eqnarray}
と変形できるので問５の答えにこれを用いて
\begin{eqnarray}
\begin{split}
\langle x_N \rangle&=&-\frac{N}{f}k_BT+Nl+NL\left(\frac{K_BT}{fL}-\frac12 + \frac{5}{12}\frac{fL}{k_BT}\right)\\
&=&N\left(l-\frac{L}{2}\right)+\frac{5}{12}\frac{fNL^2}{k_BT}
\end{split}
\end{eqnarray}
これを\( f\)について解いて
\begin{eqnarray}
f=\frac{12k_BT}{5NL^2}\left\{\langle x \rangle-N\left(l-\frac{L}{2}\right)\right\}
\end{eqnarray}
と表せるのでばね定数が\( \frac{12k_BT}{5NL^2}\)、自然長が\( N\left(l-\frac{L}{2}\right)\)となる。

　

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