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名古屋大学大学院理学研究科物理学系・院試解答
2011年度解析力学
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解析力学

１.
張力が\( F[kg\cdot m/s^2]\)、線密度\( \rho[kg/m]\)なので\( F^l,\rho^m\)\( (l,m整数)\)として次元を比較すると
\begin{eqnarray}
[kg^{l+m}m^{l-m}s^{-2l}]=[m\cdots s^{-1}]
\end{eqnarray}
から
\begin{eqnarray}
\begin{split}
l+m&=&0\\
l-m&=&1\\
-2l&=&-1
\end{split}
\end{eqnarray}
となる。これを解いて\( l=1/2,m=-1/2\)。よって
\begin{eqnarray}
v\propto \sqrt{\frac{F}{\rho}}
\end{eqnarray}
と予測できる。

２.
微小部分の\( y\)軸方向の運動エネルギー\( dE_k\)は
\begin{eqnarray}
dE_k=\frac{\rho}{2}dx\cdot \dot{y}^2
\end{eqnarray}
と書ける。また、張力によるポテンシャルエネルギー\( dE_p\)は弦の伸びが
\begin{eqnarray}
\begin{split}
\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}-dx&=&dx\left(1+\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^2\right)^{\frac12}-dx\\
&\simeq&dx\left(1+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^2\right)-dx\\
&=&\frac{1}{2}\left( \frac{\partial y}{\partial x} \right)^2dx
\end{split}
\end{eqnarray}
と書けることから、
\begin{eqnarray}
dE_p=\frac{F}{2}y’^2dx
\end{eqnarray}
よって\( Ldx=dE_k-dE_p\)より、
\begin{eqnarray}
L(y,\cdot{y},y’)=\frac{\rho}{2}\dot{y}^2-\frac{F}{2}y’^2
\end{eqnarray}
が導出できた。

３.
(2)の各項に(1)を代入して計算すると
\begin{eqnarray}
\begin{split}
\frac{\partial L}{\partial y}&=&0\\
\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial L}{\partial y}&=&\frac{\partial}{\partial t}\left(\rho\dot{y}\right)\\
&=&\rho \ddot{y}\\
\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial L}{\partial y’}&=&\frac{\partial}{\partial x}(-Fy’)\\
&=&-Fy^{\prime\prime}
\end{split}
\end{eqnarray}
となるので(2)は(1)を用いて
\begin{eqnarray}
\rho\frac{\partial^2y}{\partial t^2}=F\frac{\partial^2y}{\partial x^2}
\end{eqnarray}
と変形できる。これが\( y(x,t)\)の満たす方程式である。

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4.
\( x\)の正方向に進む波動を表す３の特殊解は、任意関数\( f\)を用いて、\( y(x,t)=f(x-vt)\)と表される。これを３へ代入し計算すると(\( x-vt=s\)とおく)
\begin{eqnarray}
\begin{split}
(左辺)&=&\rho\frac{\partial^2}{\partial t^2}f(x-vt)\\
&=&\rho\frac{\partial}{\partial s}\left[ \frac{\partial}{\partial s}f(s) \frac{\partial s}{\partial t}\right]\frac{\partial s}{\partial t}\\
&=&\rho v^2\frac{\partial^2}{\partial s^2}f(s)\\
(右辺)&=&F\frac{\partial^2}{\partial x^2}f(x-vt)\\
&=&F\left[ \frac{\partial}{\partial s}f(s) \frac{\partial s}{\partial x}\right]\frac{\partial s}{\partial x}\\
&=&F\frac{\partial^2}{\partial s^2}f(s)
\end{split}
\end{eqnarray}
よって
\begin{eqnarray}
\begin{split}
\rho v^2\frac{\partial^2}{\partial s^2}f(s)&=&F\frac{\partial^2}{\partial s^2}f(s)\\
v&=&\sqrt{\frac{F}{\rho}}
\end{split}
\end{eqnarray}
と求められる。

５.
ラグランジアン\( L(y,\dot{y},y’)\)の変分は
\begin{eqnarray}
\begin{split}
\delta L&=&\frac{\partial L}{\partial y}\delta y+\frac{\partial L}{\partial \dot{y}}\delta \dot{y}+\frac{\partial L}{\partial y’}\delta y’
\end{split}
\end{eqnarray}
と表せる。これに\( \delta S=0\)へ代入すると
\begin{eqnarray}
0=\int^{t_f}_{t_i}dt\int^{x_f}_{x_i}dx\left\{\frac{\partial L}{\partial y}\delta y+\frac{\partial L}{\partial \dot{y}}\delta \dot{y}+\frac{\partial L}{\partial y’}\delta y’ \right\}\cdots (\ast)
\end{eqnarray}
となる。ここで
\begin{eqnarray}
\begin{split}
\int^{t_f}_{t_i}dt\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{y}}\delta \dot{y}\right)dt&=&\left[ \frac{\partial L}{\partial \dot{y}}\delta ydt \right]^{t_f}_{t_i}-\int^{t_s}_{t_i}\frac{\partial}{\partial t}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{y}} \right)\delta y dt\\
&=&-\int^{t_s}_{t_i}\frac{\partial}{\partial t}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{y}} \right)\delta y dt
\end{split}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\begin{split}
\int^{x_f}_{x_i}dx\left(\frac{\partial L}{\partial y’}\delta y’\right)dx&=&\left[ \frac{\partial L}{\partial y’}\delta ydx \right]^{x_f}_{x_i}-\int^{x_f}_{x_i}\frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial L}{\partial y’} \right)\delta y dx\\
&=&-\int^{x_f}_{x_i}\frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial L}{\partial y’} \right)\delta y dx\\
\end{split}
\end{eqnarray}
この２式を導く最後の投稿で\( \delta_y(x,t_i)=\delta_y(x,t_f)=0,\)\( \delta_y(x_i,t)=\delta_y(x_f,t)=0\)を用いた。
この２式を\( (\ast)\)へ代入して
\begin{eqnarray}
0=\int^{t_f}_{t_i}dt\int^{x_f}_{x_i}dx\left\{
\frac{\partial L}{\partial y}
-\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{y}}\right)
-\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial L}{\partial y’}\right)
\right\}\delta y
\end{eqnarray}
これが任意の積分区間に対して恒等的に\( 0\)となる条件は
\begin{eqnarray}
\frac{\partial L}{\partial y}
-\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{y}}\right)
-\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial L}{\partial y’}\right)=0
\end{eqnarray}
であり、これが求める方程式(2)である。

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