名古屋大学大学院理学研究科物理学系・院試解答
2020年度解析力学
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解析力学

問１
$$\begin{eqnarray} \begin{split} \vec{OC}&=& R\left( \begin{array}{ccc} cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) \\ sin\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) \end{array} \right)\\ &=& R\left( \begin{array}{ccc} sin\theta \\ cos\theta \end{array} \right) \end{split} \end{eqnarray}$$
である。このように考えれば
$$\begin{eqnarray} \begin{split} \vec{CP}&=& R\theta\left( \begin{array}{ccc} cos\left(\pi -\theta\right)\\ sin\left(\pi -\theta\right)\\ \end{array} \right)\\ &=&R\theta \left( \begin{array}{ccc} -cos\theta\\ sin\theta\\ \end{array} \right)\\ \end{split} \end{eqnarray}$$
よって
$$\begin{eqnarray} \begin{split} \vec{OP}&=&R \left( \begin{array}{ccc} sin\theta -\theta cos\theta\\ cos\theta+\theta sin\theta\\ \end{array} \right)\\ \end{split} \end{eqnarray}$$

問２
$$\begin{eqnarray} \begin{split} \frac{d}{dt}\vec{OP}&=&R \left( \begin{array}{ccc} \dot{\theta}cos\theta-\dot{\theta}cos\theta+\theta\dot{\theta}sin{\theta}\\ -\dot{\theta}sin\theta+\dot{\theta}sin\theta+\theta\dot{\theta}cos{\theta}\\ \end{array} \right)\\ &=&R\theta\dot{\theta} \left( \begin{array}{ccc} sin\theta\\ cos\theta \end{array} \right)\\ \end{split} \end{eqnarray}$$
よって
$$\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{ccc} v_x \\ v_y \end{array} \right)=R\theta\dot{\theta} \left( \begin{array}{ccc} sin\theta\\ cos\theta \end{array} \right)\\ \end{eqnarray}$$
であり、$|\vec{v}|^2=R^2\theta^2\dot{\theta}^2$となる。

問３
問２より
$$\begin{eqnarray} \begin{split} \mathcal{L}&=&\frac{m}{2}|\vec{v}|^2\\ &=&\frac{m}{2}R^2\theta^2\dot{\theta}^2 \end{split} \end{eqnarray}$$
である。

問４
$$\begin{eqnarray} \begin{split} \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\theta}&=&mR^2\theta\dot{\theta}^2\\ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\theta}}&=&mR^2\theta^2\dot{\theta} \end{split} \end{eqnarray}$$
また
$$\begin{eqnarray} \begin{split} \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\theta}}\right)&=&2mR^2\theta\dot{\theta}^2+mR^2\theta^2\ddot{\theta} \end{split} \end{eqnarray}$$
よってオイラー・ラグランジュ方程式は
$$\begin{eqnarray} \begin{split} 2mR^2\theta\dot{\theta}^2+mR^2\theta^2\ddot{\theta}&=&mR^2\theta\dot{\theta}^2\\ \Leftrightarrow \theta\ddot{\theta}+2\theta\dot{\theta}^2&=&\theta\dot{\theta}^2\\ \Leftrightarrow \theta\ddot{\theta}+\theta\dot{\theta}^2&=&0 \end{split} \end{eqnarray}$$
となる。

問５
問４で得られた方程式は
$$\begin{eqnarray} \begin{split} \ddot{\theta}&=&-\frac{\dot{\theta}^2}{\theta}\\ \Leftrightarrow\frac{\ddot{\theta}}{\dot{\theta}}&=&-\frac{\dot{\theta}}{\theta} \end{split} \end{eqnarray}$$
と変形できる。
これを不定積分すると
$$\begin{eqnarray} \begin{split} ln\dot{\theta}&=&-ln\theta+C\\ &=&ln\frac{C}{\theta}\\ \Rightarrow \dot{\theta}\theta&=&\theta \end{split} \end{eqnarray}$$
さらにこれを不定積分すると
$$\begin{eqnarray} \begin{split} \theta^2&=&2Ct+D\\ \theta&=&\pm \sqrt{2Ct+D} \end{split} \end{eqnarray}$$
ここで問題の設定より$\theta(t=0)=0$なので$D=0$。
また、$R\theta\dot{\theta}=v_0$より
$$\begin{eqnarray} \begin{split} \theta\dot{\theta}&=&C\\ &=&\frac{v_0}{R} \end{split} \end{eqnarray}$$
$\theta$の取り方からマイナスは不適であるので
$$\begin{eqnarray} \theta=\sqrt{2\frac{v_0}{R}t} \end{eqnarray}$$
となる。

　

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問６
$$\begin{eqnarray} \begin{split} m{\bf{r}}×{\bf{v}}&=&m\vec{OP}×\frac{d}{dt}\vec{OP}\\ &=&m(\vec{OC}+\vec{CP})×\theta\dot{\theta}\vec{OC}\\ &=&m\theta\dot{\theta}\vec{CP}×\vec{OC}\\ \end{split} \end{eqnarray}$$
$|\vec{CP}|=R\theta,|\vec{OC}|=R$であるので
$$\begin{eqnarray} |{\bf{L}}|=mR^2\theta^2\dot{\theta} \end{eqnarray}$$
であり
$$\begin{eqnarray} \begin{split} \frac{d}{dt}|{\bf{L}}|&=&mR^2\frac{d}{dt}(\theta^2\dot{\theta})\\ &=&mR^2(2\theta\dot{\theta}^2+\theta^2\ddot{\theta}) \end{split} \end{eqnarray}$$
問４より
$$\begin{eqnarray} \theta\ddot{\theta}+2\theta\dot{\theta}^2&=&\theta\dot{\theta}^2 \end{eqnarray}$$
であり$\dot{\theta}^2\neq 0,\theta\neq 0$より角運動量は保存しない。

$\ast 別解$
(問５より$\theta$を用い具体的に計算してみると
$$\begin{eqnarray} \frac{d}{dt}|{\bf{L}}|\propto -\frac{1}{2\sqrt{t}}\neq 0 \end{eqnarray}$$
より角運動量は保存しない。)

保存しない理由は円筒を固定するための外力が系に働いているからである。

問７
$$\begin{eqnarray} \begin{split} H&=&p\dot{q}-L\\ &=&\frac12 mv^2 \end{split} \end{eqnarray}$$
$$\begin{eqnarray} \dot{H}=\ mv\dot{v} \end{eqnarray}$$
ここで問４より
$$\begin{eqnarray} \begin{split} \dot{v}&=&R\left( \dot{\theta}^2+\theta\ddot{\theta}\right)\\ &=&0 \end{split} \end{eqnarray}$$
であるので運動エネルギーは保存する。
保存する理由は物体に働く力と速度が直交しているからである。

問８
$$\begin{eqnarray} \begin{split} \vec{OC}&=& R\left( \begin{array}{ccc} sin\left(\theta+\psi\right) \\ cos\left(\theta+\psi\right) \end{array} \right) \end{split} \end{eqnarray}$$
$$\begin{eqnarray} \begin{split} \vec{CP}&=& R\theta\left( \begin{array}{ccc} -cos\left(\theta+\psi\right) \\ sin\left(\theta+\psi\right) \end{array} \right) \end{split} \end{eqnarray}$$
より
$$\begin{eqnarray} \begin{split} \vec{OP}&=& R\theta\left( \begin{array}{ccc} sin\left(\theta+\psi\right)-\theta cos\left(\theta+\psi\right) \\ cos\left(\theta+\psi\right)+\theta sin\left(\theta+\psi\right) \end{array} \right) \end{split} \end{eqnarray}$$
$$\begin{eqnarray} \begin{split} \frac{d}{dt}\vec{0P}&=& R\theta\left( \begin{array}{ccc} \dot{\psi}cos\left(\theta+\psi\right)+\theta\left(\dot{\theta}+\dot{\psi}\right)sin\left(\theta+\psi\right)\\ -\dot{\psi}sin\left(\theta+\psi\right)+\theta\left(\dot{\theta}+\dot{\psi}\right)cos\left(\theta+\psi\right) \end{array} \right) \end{split} \end{eqnarray}$$
$\frac{d}{dt}\vec{OP}=\vec{v}$であるので
$$\begin{eqnarray} \begin{split} |\vec{v}|^2=R^2\left( \dot{\psi}^2+\theta^2\left( \dot{\theta}+\dot{\psi} \right)^2 \right) \end{split} \end{eqnarray}$$
よって
$$\begin{eqnarray} \begin{split} L=\frac{mR^2}{2}\left( \dot{\psi}^2+\theta^2\left( \dot{\theta}+\dot{\psi} \right)^2 \right) +\frac{I}{2}\left( \dot{\theta}+\dot{\psi} \right)^2 \end{split} \end{eqnarray}$$

問９
$\theta$について
$$\begin{eqnarray} \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}=mR^2\dot{\theta}^2\left(\dot{\theta}+\dot{\psi}\right)+I\left(\dot{\theta}+\dot{\psi}\right) \end{eqnarray}$$
$$\begin{eqnarray} \frac{\partial L}{\partial \theta}=mR^2\theta\left(\dot{\theta}+\dot{\psi}\right)^2 \end{eqnarray}$$
よってオイラー・ラグランジュ方程式は
$$\begin{eqnarray} \frac{d}{dt}\left\{mR^2\dot{\theta}^2\left(\dot{\theta}+\dot{\psi}\right)+I\left(\dot{\theta}+\dot{\psi}\right)\right\}=mR^2\theta\left(\dot{\theta}+\dot{\psi}\right)^2 \end{eqnarray}$$

$\psi$について
$$\begin{eqnarray} \frac{\partial L}{\partial \dot{\psi}}=mR^2\left(\dot{\psi}+\theta^2\left( \dot{\theta}+\dot{\psi} \right)+I\left( \dot{\theta}+\dot{\psi} \right) \right) \end{eqnarray}$$
$$\begin{eqnarray} \frac{\partial L}{\partial \psi}=0 \end{eqnarray}$$
よってオイラー・ラグランジュ方程式は
$$\begin{eqnarray} \frac{d}{dt}\left\{mR^2\left(\dot{\psi}+\theta^2\left( \dot{\theta}+\dot{\psi} \right)\right)+I\left( \dot{\theta}+\dot{\psi} \right) \right\}=0 \end{eqnarray}$$

問１０
質点の角運動量を考える。
$$\begin{eqnarray} \begin{split} mR^2\left( \begin{array}{ccc} sin\left(\theta+\psi\right)-\theta cos\left(\theta+\psi\right) \\ cos\left(\theta+\psi\right)+\theta sin\left(\theta+\psi\right) \\ 0 \end{array} \right)&×&\left( \begin{array}{ccc} \dot{\psi}cos\left(\theta+\psi\right)+\dot{\theta}\left( \dot{\theta}+\dot{\psi} \right)sin\left(\theta+\psi\right) \\ -\dot{\psi}sin\left(\theta+\psi\right) +\theta \left( \dot{\theta}+\dot{\psi} \right)cos\left(\theta+\psi\right) \\ 0 \end{array} \right)\\ &=&mR^2\left( \begin{array}{ccc} 0 \\ 0 \\ -\dot{\psi}-\theta^2\left( \dot{\theta}+\dot{\psi} \right) \end{array} \right) \end{split} \end{eqnarray}$$
円盤の角運動量が
$$\begin{eqnarray} \begin{split} \vec{OC}&=& R\left( \begin{array}{ccc} 0 \\ 0 \\ -I\left( \dot{\theta}+\dot{\psi} \right) \end{array} \right) \end{split} \end{eqnarray}$$
であるので$\psi$についてのオイラー・ラグランジュ方程式より、保存量は質点と円盤の全角運動量である。

問１１
$t=0$で全角運動量$0$であるので$\psi$のついてのオイラーラグランジュ方程式より
$$\begin{eqnarray} mR^2\left(\dot{\psi}+\theta^2\left( \dot{\theta}+\dot{\psi} \right)\right)+I\left( \dot{\theta}+\dot{\psi} \right)=0 \end{eqnarray}$$
となり、$\dot{\theta}>0$より$\dot{\psi}<0$となる。 つまり反時計まわり。

問１２
円盤の回転エネルギーが発生するため、質点のエネルギーは保存しない。

　

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