名古屋大学大学院理学研究科物理学系・院試解答
2020年度電磁気学
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電磁気学

問１
(a)
\begin{eqnarray}
\begin{split}
{\bf{s}}&=&
\left(
\begin{array}{ccc}
acos\varphi \\
asin\varphi \\
0
\end{array}
\right)\\
\end{split}
\end{eqnarray}
であり、
\begin{eqnarray}
\begin{split}
d{\bf{s}}&=&
\left(
\begin{array}{ccc}
-sin\varphi \\
cos\varphi \\
0
\end{array}
\right)\cdot ad\varphi\\
\end{split}
\end{eqnarray}
である。
\begin{eqnarray}
\begin{split}
d{\bf{F}}&=&
Id{\bf{s}}×{\bf{B}}\\
&=&I
\left(
\begin{array}{ccc}
-asin\varphi \\
acos\varphi \\
0
\end{array}
\right)×
\left(
\begin{array}{ccc}
B_0 \\
0 \\
0
\end{array}
\right)d\varphi\\
&=&
Ia\left(
\begin{array}{ccc}
0 \\
0 \\
-B_0cos\varphi
\end{array}
\right)d\varphi
\end{split}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\begin{split}
d{\bf{N}}&=&
-B_0Ia
\left(
\begin{array}{ccc}
acos\varphi \\
asin\varphi \\
0
\end{array}
\right)×
\left(
\begin{array}{ccc}
0 \\
0 \\
cos\varphi
\end{array}
\right)d\varphi\\
&=&
-B_0I\left(
\begin{array}{ccc}
a^2sin\varphi cos\varphi \\
-a^2cos^2\varphi \\
0
\end{array}
\right)d\varphi
\end{split}
\end{eqnarray}

(b)
\begin{eqnarray}
\begin{split}
{\bf{N}}&=&B_0Ia^2\int^{2\pi}_0
\left(
\begin{array}{ccc}
a^2sin\varphi cos\varphi \\
-a^2cos^2\varphi \\
0
\end{array}
\right)d\varphi
\end{split}
\end{eqnarray}
ここで
\begin{eqnarray}
\begin{split}
\int^{2\pi}_0sin\varphi cos\varphi&=&0\\
\int^{2\pi}_0cos^2\varphi&=&\pi
\end{split}
\end{eqnarray}
であるので
\begin{eqnarray}
{\bf{N}}&=&\pi a^2B_0I{\bf{e}}_y
\end{eqnarray}
となる。

(c)
磁気モーメント\( {\bf{\mu}}\)を\( (\alpha,\beta,\gamma)\)と置いてみると
\begin{eqnarray}
\begin{split}
{\bf{\mu}}×{\bf{B}}_0&=&
\left(
\begin{array}{ccc}
0 \\
\gamma B_0 \\
-\beta B_0
\end{array}
\right)
\end{split}
\end{eqnarray}
となる。(b)で求めたトルクと比較すると\( \beta =0,\gamma=\pi a^2I\)。ここで原点で電流が作る磁場の向きは\( z\)軸方向である。よって\( \alpha=0\)
以上より
\begin{eqnarray}
{\bf{\mu}}=\pi a^2I{\bf{e}}_z
\end{eqnarray}
となる。

(d)
トルクを考えると回転軸は\( y\)軸である。
また。半回転すると電流の向きも反転するためトルクが逆向きになる。
したがって(4)

　

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問２
(a)
まず、\( x=acos\varphi\)である。
\begin{eqnarray}
\begin{split}
d{\bf{F}}&=&
Id{\bf{s}}×{\bf{B}}\\
&=&I
\left(
\begin{array}{ccc}
-asin\varphi \\
acos\varphi \\
0
\end{array}
\right)×
\left(
\begin{array}{ccc}
0 \\
0 \\
B_0+B_1x
\end{array}
\right)d\varphi\\
&=&
Ia\left(
\begin{array}{ccc}
B_0cos\varphi +B_1acos^2\varphi \\
B_0sin\varphi +B_1sin\varphi cos\varphi \\
0
\end{array}
\right)d\varphi
\end{split}
\end{eqnarray}

(b)
\begin{eqnarray}
\begin{split}
{\bf{F}}&=&
Ia\int^{2\pi}_0\left(
\begin{array}{ccc}
B_0cos\varphi +B_1acos^2\varphi \\
B_0sin\varphi +B_1sin\varphi cos\varphi \\
0
\end{array}
\right)d\varphi\\
&=&
\left(
\begin{array}{ccc}
\pi Ia^2B_1 \\
0 \\
0
\end{array}
\right)
\end{split}
\end{eqnarray}

(c)
\begin{eqnarray}
\begin{split}
m\ddot{{\bf{x}}}&=&{\bf{F}}\\
M\ddot{x}&=&\pi Ia^2B_1
\end{split}
\end{eqnarray}
これを時間について積分する。初期位置は原点、初速度は0であるので
\begin{eqnarray}
x(t)=\frac{\pi Ia^2B_1}{2M}t^2
\end{eqnarray}

(d)
時刻\( t\)での円形コイルの中心から極座標を張ると\( r,\theta\)での磁束密度は
\begin{eqnarray}
B_0+B_1(x+rcos\varphi)
\end{eqnarray}
となる。これを面積分すると
\begin{eqnarray}
\begin{split}
\int^{a}_0\int^{2\pi}_0\left\{B_0+B_1(x+rcos\varphi)\right\}rdrd\varphi
&=&\pi a^2(B_0+B_1a^2x)\\
&=&\pi a^2B_0+\frac{\pi^2a^4IB_1^2}{2M}t^2
\end{split}
\end{eqnarray}
逆起電力\( V\)は
\begin{eqnarray}
\begin{split}
V&=&\left|-\frac{d\Phi}{dt}\right|\\
&=&\frac{\pi^2a^4IB_1^2}{M}t
\end{split}
\end{eqnarray}
となる。

(e)
仕事率は\( VI\)であるので求めるエネルギーは
\begin{eqnarray}
\int^{t}_0VIdt’&=&\frac{\pi^2a^4I^2B_1^2}{2M}t^2
\end{eqnarray}
となる。

(f)
(c)より時刻\( t\)での速度は\( \frac{\pi Ia^2B_1}{M}t\)であるので
\begin{eqnarray}
\begin{split}
K&=&\frac12 M \left(\frac{\pi Ia^2B_1}{M}t\right)^2\\
&=&\frac{\pi^2a^4I^2B_1^2}{2M}t^2
\end{split}
\end{eqnarray}
となる。これは(e)の結果と一致する。

　

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