名古屋大学大学院理学研究科物理学系・院試解答
2012年度解析力学
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解析力学

１.
速度ベクトル\( {\bf{v}}\)は
\begin{eqnarray}
{\bf{v}}=(\dot{r}cos\phi-r\dot{\phi}sin\phi,\dot{r}sin\phi+r\dot{\phi}cos\phi,\dot{z})
\end{eqnarray}
となるので、運動エネルギー\( T\)は
\begin{eqnarray}
\begin{split}
T&=&\frac12 m{\bf{v}}^2\\
&=&\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2+z^2)
\end{split}
\end{eqnarray}
となる。

２.
ポテンシャルは\( U=mgz\)であるので、質点のラグラジアンは
\begin{eqnarray}
\begin{split}
L&=&T-U\\
&=&\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2+\dot{z}^2)-mgz
\end{split}
\end{eqnarray}
と求まる。

３.
束縛条件である\( r=ztan\theta\)とその時間微分の\( \dot{r}=\dot{z}tan\theta\)をラグランジアンへ代入すると
\begin{eqnarray}
\begin{split}
L&=&\frac{1}{2}m(\dot{z}^2tan^2\theta+z^2\dot{\phi}^2tan^2\theta+\dot{z}^2)-mgz\\
&=&\frac12 m\left(\frac{\dot{z}^2}{cos^2\theta}+z^2\dot{\phi}^2tan^2\theta\right)-mgz
\end{split}
\end{eqnarray}

４.
\( \phi\)方向のオイラーラグランジュ方程式は
\begin{eqnarray}
\begin{split}
\frac{\partial L}{\partial \phi}&=&0\\
\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{\phi}}&=&\frac{d}{dt}(mz^2\dot{\phi}tan^2\theta)
\end{split}
\end{eqnarray}
であるので
\begin{eqnarray}
\frac{d}{dt}(mz^2\dot{\phi}tan^2\theta)=0
\end{eqnarray}
となる。また、\( z\)方向の角運動量は\( l=xp_y-yp_x\)であるので
\begin{eqnarray}
l=mz^2\dot{\phi}tan^2\theta
\end{eqnarray}
よってオイラーラグランジュ方程式より\( l\)は保存すると言える。

　

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５.
\( l=mz^2\dot{\phi}tan^2\theta\)をラグランジアンに代入すると
\begin{eqnarray}
\begin{split}
L&=&\frac{1}{2}m\left(\frac{\dot{z}^2}{cos^2\theta}+z^2tan^2\theta\cdot \frac{l^2}{m^2z^4tan^4\theta}\right)-mgz\\
&=&\frac{m\dot{z}^2}{2cos^2\theta}+\frac{l^2}{2mz^2tan^2\theta}-mgz
\end{split}
\end{eqnarray}
となる。これより\( T=\frac{m\dot{z}^2}{2cos^2\theta}+\frac{l^2}{2mz^2tan^2\theta},U=mgz\)であるのでエネルギー\( E\)は
\begin{eqnarray}
\begin{split}
E&=&T+U\\
&=&\frac{m\dot{z}^2}{2cos^2\theta}+\frac{l^2}{2mz^2tan^2\theta}+mgz
\end{split}
\end{eqnarray}
となる。よって有効ポテンシャル\( U_{eff}(z)\)は、
\begin{eqnarray}
U_{eff}(z)=\frac{l^2}{2mz^2tan^2\theta}+mgz
\end{eqnarray}
と求められる。これを微分して
\begin{eqnarray}
\frac{dU_{eff}(z)}{dz}=mg\left(1-\frac{l^2}{m^2gz^3tan^2\theta}\right)
\end{eqnarray}
となり、\( z=\left(\frac{l^2}{m^2gtan^2\theta}\right)^{\frac13}\)で極小値\( \frac{3}{2}\left(\frac{mg^2l^2}{tan^2\theta}\right)^{\frac{1}{3}}\)となる。また、\( r\rightarrow 0,\infty\)で\( U_{eff}(z)\rightarrow \infty\)となる。

６.
\( l=l_0\)のとき、\( z_0\)は有効ポテンシャルが極小となる場合なので
\begin{eqnarray}
z_0=\left(\frac{l_0^2}{m^2gtan^2\theta}\right)^{\frac13}
\end{eqnarray}
となる。その時の速さ\( v_0\)は
\begin{eqnarray}
\begin{split}
v_0&=&r\dot{\phi}\\
&=&z_0tan\theta \cdot \frac{l_0}{mz_0^2tan^2\theta}\\
&=&\frac{l_0}{tan\theta}\left(g\left(\frac{mtan\theta}{l_0}\right)^2\right)^{\frac13}\\
&=&\left(\frac{gl_0}{tan\theta}\right)^{\frac{1}{3}}
\end{split}
\end{eqnarray}
と求まる。

７.
前問より、
\begin{eqnarray}
l_0=\frac{mv_0^3tan\theta}{g} > \frac{mv_1^3tan\theta}{g} =l_1
\end{eqnarray}
であるので、
\begin{eqnarray}
l_0 > l_1
\end{eqnarray}
であり、
\begin{eqnarray}
z_0=\left(\frac{l_0^2}{m^2gtan^2\theta}\right)^{\frac13} > \left(\frac{l_1^2}{m^2gtan^2\theta}\right)^{\frac13}=z_1
\end{eqnarray}
なので
\begin{eqnarray}
z_0 > z_1
\end{eqnarray}
以上よりこの運動の有効ポテンシャルは\( z=z_1 ( < z_0 )\)で極小値\( \frac{3}{2}\left(\frac{mg^2l_1^2}{tan^2\theta}\right)^{\frac{1}{3}} \left( < \frac{3}{2}\left(\frac{mg^2l_0^2}{tan^2\theta}\right)^{\frac{1}{3}}\right)\)となる。有効ポテンシャル値が\( \frac{3}{2}\left(\frac{mg^2l_0^2}{tan^2\theta}\right)^{\frac{1}{3}}\)を\( z_0\)と\( z_0'\)すると\( \phi\)方向に回転しながら\( z_0' \leq z \leq z_0\)を往復運動する。

　

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