名古屋大学大学院理学研究科物理学系・院試解答
2015年度解析力学
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解析力学

A
１.
\( {\bf{x}}=(cos\theta,rsin\theta)\)より\( {\bf{v}}=(\dot{r}cos\theta-r\dot{\theta}sin\theta,\dot{r}sin\theta+r\dot{\theta}cos\theta)\)となるので
\begin{eqnarray}
\begin{split}
T&=&\frac12 \left\{ (\dot{r}cos\theta-r\dot{\theta}sin\theta)^2+(\dot{r}sin\theta+r\dot{\theta}cos\theta)^2 \right\}\\
&=&\frac12\left(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2\right)
\end{split}
\end{eqnarray}

２.
ポテンシャルが\( V(r)\)なので
\begin{eqnarray}
\begin{split}
L&=&\frac12\left(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2\right)-V(r)
\end{split}
\end{eqnarray}
となる。

３.
オイラーラグランジュ方程式より\( r\)についての運動方程式は
\begin{eqnarray}
m\ddot{r}=mr\dot{\theta}-\frac{\partial V(r)}{\partial r}\cdots(１)
\end{eqnarray}
\( \theta\)についての運動方程式は
\begin{eqnarray}
mr^2\ddot{\theta}=0
\end{eqnarray}
となる。

B
１.
\( r>R_0\)のとき質点に働く重力の大きさは
\begin{eqnarray}
\begin{split}
F&=&\frac{1}{4\pi r^2}\cdot 4\pi G\left( \frac43 \pi R_0^3\rho+M\right)\\
&=&G\left( \frac43 \pi R_0^3\rho+M \right)r^{-2}
\end{split}
\end{eqnarray}

\( r < R_0\)のとき質点に働く重力の大きさは \begin{eqnarray} \begin{split} F&=&\frac{1}{4\pi r^2}\cdot 4\pi G\left( \frac43 \pi r^3\rho+M\right)\\ &=&G\left( \frac43 \pi \rho r+\frac{M}{r^2} \right) \end{split} \end{eqnarray} である。ここで質点は単位質量として計算した。 次に、質点\( m\)の重力ポテンシャル\( V(r)\)を求める。 \( r > R_0\)のとき
\begin{eqnarray}
\begin{split}
V(r)&=&-\int^{r}_\infty m(-F)dr’\\
&=&-mG\left( \frac43 \pi R_0^3\rho+M\right)\int^{\infty}_r r’^{-2}dr’\\
&=&-\frac{Gm}{r}\left( \frac43 \pi R_0^3\rho+M\right)
\end{split}
\end{eqnarray}

\( r < R_0\)のとき \begin{eqnarray} \begin{split} V(r)&=&-\int^{r}_\infty m(-F)dr'\\ &=&\int^{R_0}_{\infty}mFdr'+\int^{r}_{R_0}mFdr'\\ &=&-\frac{Gm}{R_0}\left( \frac43 \pi R_0^3\rho+M\right)+ mG\int^{r}_{R_0}G\left( \frac43 \pi \rho r'+\frac{M}{r'^2} \right)\\ &=&-\frac{Gm}{R_0}\left( \frac43 \pi R_0^3\rho+M\right) +mG\frac43 \pi\rho \frac12 \left(r^2-R_0^2\right) -\frac{GMm}{r}+\frac{GMm}{R_0}\\ &=&\frac23mG\rho \pi\left(r^2-3R_o^2\right)-\frac{GMm}{r}\cdots(２) \end{split} \end{eqnarray} となる。

２.
(１)、(２)より
\begin{eqnarray}
m\ddot{r}&=&mr\Omega^2-\frac{Gm}{r^2}\left(M+\frac43 \pi R_0^3\rho\right)
\end{eqnarray}
となる。\( \ddot{r}=0\)より
\begin{eqnarray}
\begin{split}
\Omega^2&=&\frac{G}{r^3}\left(M+\frac43 \pi R_0^3\rho\right)\\
\Rightarrow\Omega&=&\sqrt{\frac{G}{r^3}\left(M+\frac43 \pi R_0^3\rho\right)}
\end{split}
\end{eqnarray}
となる。

C
１.
この系のラグランジアンは
\begin{eqnarray}
\begin{split}
L&=&\frac12 m_1\left(\dot{r}_1^2 +r_1^2\dot{\theta}_1^2\right)+\frac12 m_2\left(\dot{r}_2^2 +r_2^2\dot{\theta}_2^2\right)\\
&+&\frac{GMm_1}{r_1}+\frac{GMm_2}{r_2}
-\frac12k\left\{ \left(r_1^2+r_2^2-2r_1r_2cos\left(\theta_1-\theta_2\right)\right)^{\frac{1}{2}}-l_0\right\}^2
\end{split}
\end{eqnarray}
よって運動方程式は\( r_2\)についてのオイラーラグランジュ方程式から
\begin{eqnarray}
\begin{split}
m\ddot{r}_2&=&m_2r_2\dot{\theta}_2^2-\frac{GMm_2}{r_2^2}\\
&-&k\left[1-\frac{l}{\sqrt{r_1^2+r_2^2-2r_1r_2cos(\theta_1-\theta_2)}}\right](r_2-r_1cos(\theta_1-\theta_2))\cdots(3)
\end{split}
\end{eqnarray}
となる。

　

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２.
\( \theta_1=\theta_2\)であることを用いると\( (3)\)は
\begin{eqnarray}
m\ddot{r}_2&=&m_2r_2\dot{\theta}_2^2-\frac{GMm_2}{r_2^2}
-k\left[1-\frac{l}{|r_2-r_1|}\right](r_2-r_1)
\end{eqnarray}
となる。さらに\( r_2 > r_1\)であることを考えると
\begin{eqnarray}
m\ddot{r}_2&=&m_2r_2\dot{\theta}_2^2-\frac{GMm_2}{r_2^2}
-k(r_2-r_1-l_0)
\end{eqnarray}
ここで、前問B.2の結論から\( \theta_1\)について考えてやると
\begin{eqnarray}
\dot{\theta_1}^2=\frac{GM}{r_1^3}
\end{eqnarray}
を得る。今、\( \dot{\theta_1}=\dot{\theta_2}\)であるので
\begin{eqnarray}
\dot{\theta_2}^2=\frac{GM}{r_1^3}
\end{eqnarray}
となり、これを運動方程式に代入すると
\begin{eqnarray}
m\ddot{r}_2&=&\frac{GMm_2}{r_1^3}r_2-\frac{GMm_2}{r_2^2}
-k(r_2-r_1-l_0)
\end{eqnarray}
となる。ここで
\begin{eqnarray}
\begin{split}
\frac{1}{r_2^2}&=&\frac{1}{(r_1+\Delta r)^2}\\
&=&\frac{1}{r_1^2}\frac{1}{1+2\frac{\Delta r}{r_1}}\\
&=&\frac{1}{r_1^2}\left(1-2\frac{\Delta r}{r_1}\right)\\
&=&\frac{1}{r_1^2}\left(1-\frac{2(r_2-r_1)}{r_1}\right)\\
&=&\frac{1}{r_1^3}(3r_1-2r_2)
\end{split}
\end{eqnarray}
であることを考えて変形すると
\begin{eqnarray}
\begin{split}
0&=&-\frac{GMm_2}{r_1^3}(3r_1-2r_2)+\frac{GMm_2}{r_1^3}r_2-k(r_2-r_1-l_0)\\
\Rightarrow \left(k-\frac{3GMm_2}{r_1^3}\right)r_2&=&-\frac{3GMm_2}{r_1^2}+k(r_1+l_0)\\
\Rightarrow r_2&=&\frac{\frac{3GMm_2}{r_1^3}-k(1+\frac{l_0}{r_1})}{\frac{3GMm_2}{r_1^3}-k}r_1\cdots(4)
\end{split}
\end{eqnarray}
と求まる。

３. (4)式において
\begin{eqnarray}
\begin{split}
\frac{3GMm_2}{r_1^2}+k(r_1+l_0) & > &0
\end{split}
\end{eqnarray}
且つ
\begin{eqnarray}
\begin{split}
k-\frac{3GMm_2}{r_1^3} & > &0
\end{split}
\end{eqnarray}
では\( r_2 > r_1\)は満たされない。 つまり
\begin{eqnarray}
\begin{split} k-\frac{3GMm_2}{r_1^3} & < &0 \end{split} \end{eqnarray} である必要がある。これが満たされるときつり合いが成立する。この不等式は定性的には質点１への質量\( M\)の質点による引力がばねの復元力よりも大きいことを表す。この関係式が満たされないとき、つまり\( k-\frac{3GMm_2}{r_1^3}=0\)となるとき無限遠へ飛び去る。

４.
\( r_2 < r_1\)の場合、\( l_0 \rightarrow -l_0\)となるので \begin{eqnarray} r_2&=&\frac{\frac{3GMm_2}{r_1^3}-k(1-\frac{l_0}{r_1})}{\frac{3GMm_2}{r_1^3}-k}r_1 \end{eqnarray} となる。従ってつり合いの条件式は\( r_2 > r_1\)の場合と同様であり、この条件が満たされない場合、中心へ落ち込む。

　

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